قاعده‌ی کلی بخش‌پذیری بر اعداد اول

در سالیان جوانی که بیشتر فرصت مطالعات ریاضی داشتم؛ نکاتی در آن باب گاهی به ذهن‌ام خطور می‌کرد. یکی از این نکات قواعد بخش‌پذیری بود که شاید برای دانش‌آموزان تازگی داشته باشد. در اینجا اثبات آن را نمی‌آورم؛ زیرا با وجودی که ممکن است اصل قضیه بسیار عجیب به نظر برسد؛ اثباتی بسیار ساده دارد.

اساس این روش بر تفکیک عدد به دو قسمت است. رقم یکان عدد را جدا می‌کنیم؛ سپس آن را بر عددی ضرب کرده و از باقی عدد کم کرده یا با آن جمع می‌کنیم. این فرآیند را، به صورت الگوریتمی، تا جایی ادامه می‌دهیم که بخش‌پذیری عدد حاصل بر عدد مورد نظر روشن باشد.

بخش‌پذیری بر 3: رقم یکان را جدا کرده و با باقی عدد جمع می‌کنیم: اگر عدد ما abc…xyz باشد که x رقم یکان آن است. از آن x را جدا می‌کنیم و با باقی عدد جمع می‌کنیم. فرض کنید عدد حاصل به صورت ab…xy باشد؛ دوباره همین کار را با آن انجام می‌دهیم تا جایی که روشن باشد عدد حاصل بر 3 بخش‌پذیر است یا نه.

مثال: عدد 3521531 را در نظر بگیرید. 1 را آن جدا می‌کنیم و با باقی عدد جمع می‌کنیم: 352154=1+352153؛ این کار را تکرار می‌کنیم:

۴ 35215+4=35219

۹ 3521+9=3530

۰ 3530+0=353

۳ 35+3=38

۸ 3+8=11

۱ 1+1=2

چون 2 بر 3 بخش‌پذیر نیست؛ پس 352153 بر 3 بخش‌پذیر نیست. البته در این مورد روشن است که قاعده‌ی مشهور (جمع ارقام) بسیار راحت‌تر از این شیوه است.

بخش‌پذیری بر 7: رقم یکان را جدا کرده؛ در 2 ضرب می‌کنیم و از باقی عدد کم می‌کنیم. مثال: عدد 1234534 را در نظر بگیرید. رقم یکان را جدا کرده، در 2 ضرب می‌کنیم: 8=2×4؛ 8 را از باقی عدد کم می‌کنیم.

4×2=8 123453-8=123445

5×2=10 12344-10=12334

4×2=8 1233-8=1225

5×2=10 122-10=105

5×2=10 10-10=0 :پس عدد 1234534 بر 7 بخش‌پذیر است

قاعده‌ی دوم برای بخش‌پذیری بر 7: رقم یکان را جدا کرده؛ در 5 ضرب می‌کنیم و با باقی عدد جمع می‌کنیم. مثال برای عدد 867803:

3×5=15 86780+15=86795

5×5=25 8679+25=8704

4×5=20 870+20=890

0×5=0 89+0=89

روشن است که این مرحله قابل حذف است و از همین جا هم می‌توان فهمید عدد 867803 بر 7 بخش‌پذیر نیست. ولی مراحل بعدی را هم ادامه می‌دهم تا الگوریتم کامل شود.

9×5=45 8-45=-(45-8)=-33

علامت منفی در این الگوریتم قابل حذف است:

3×5=15 3-15=-12

2×5=10 1-10=-9

عدد 9 بر 7 بخش‌پذیر نیست؛ پس عدد 867803 بر 7 بخش‌پذیر نیست.

باقی قواعد را بدون ذکر مثال می‌آورم:

بخش‌پذیری بر 11: رقم یکان را جدا کرده و از باقی عدد کم می‌کنیم.

بخش‌پذیری بر 13: رقم یکان را جدا کرده؛ در 4 ضرب می‌کنیم و با باقی عدد جمع می‌کنیم.

بخش‌پذیری بر 17: رقم یکان را جدا کرده؛ در 5 ضرب می‌کنیم و از باقی عدد کم می‌کنیم.

بخش‌پذیری بر 19: رقم یکان را جدا کرده؛ در 2 ضرب می‌کنیم و با باقی عدد جمع می‌کنیم.

بخش‌پذیری بر 23: رقم یکان را جدا کرده؛ در 7 ضرب می‌کنیم و با باقی عدد جمع می‌کنیم. البته روشن است که در این مورد قاعده چندان کارآمد نیست.

بخش‌پذیری بر 29: رقم یکان را جدا کرده؛ در 3 ضرب می‌کنیم و با باقی عدد جمع می‌کنیم.

بخش‌پذیری بر 31: رقم یکان را جدا کرده؛ در 3 ضرب می‌کنیم و از باقی عدد کم می‌کنیم.

بخش‌پذیری بر 37: رقم یکان را جدا کرده؛ در 11 ضرب می‌کنیم و از باقی عدد کم می‌کنیم. اینجا هم روشن است که در این مورد قاعده چندان کارآمد نیست.

بخش‌پذیری بر 41: رقم یکان را جدا کرده؛ در 4 ضرب می‌کنیم و از باقی عدد کم می‌کنیم.

می‌توانید راز این قواعد را پیدا کنید و به سادگی بر هر عدد اول گسترش دهید.