روش اصل موضوعی در ریاضیات

ریاضی در قرن بیستم به شکل عجیبی به روش منطقی و اصل موضوعی عرضه شد. در اینجا نمونه‌ای از طرح اصول موضوعی نظریه اعداد طبیعی ( اصول پئانو) را می‌آورم:¹

1. مجموعه اعداد طبیعی با علامت اختصاری N : مجموعه‌ای حداقل با دو عضو n و m است که میان هر دو عضو متمایز آن رابطه تالی بودن تعریف شده است به گونه‌ای که یا m تالی n است یا n تالی m است.

2. 0 (صفر) یک عدد طبیعی است.

3. تالی یک عدد طبیعی، عدد طبیعی است.

4. 0 تالی هیچ عدد طبیعی نیست.

5. دو عدد نامساوی، تالی مساوی ندارند.

6. (اصل استقرای ریاضی) اگر P خاصیتی در اعداد طبیعی باشد و (P(0؛ آنگاه:همه اعداد طبیعی این خاصیت را دارند.

هر قضیه در باره اعداد طبیعی چه بسیار روشن باشد و چه پیچیده، با همین اصول ششگانه ثابت می‌شود و نیز هر تابعی در اعداد طبیعی و هر عملی در آن‌ها (مانند +) و هر رابطه‌ای در میان آن‌ها (مانند ) در چارچوب این اصول تعریف می‌شود.دو اصل موضوع دوم و سوم با استقرای ریاضی همه اعداد طبیعی را تولید می‌کنند و سه اصل دیگر روابط میان این اعداد را تبیین می‌کنند.

این روش با دقتی که در آن به نظر می‌رسد، آرزوی دیرین فلاسفه و منطق‌دانان بود. حتی این که فلاسفه گذشته مطالعه هندسه را به فلسفه‌آموزان تأکید می‌کردند؛ برای این بود که فلاسفه هندسه را یک نمونه عالی از کاربرد روش منطقی محسوب می‌کردند و در اوایل قرن بیستم هیلبرت تلاش زیادی برای توسعه آن داشت. اما این روش با مشکلی اساسی روبرو است. به نظر نمی‌رسد توان معرفتی بشر در چنین چارچوب تنگی محدود باشد؛ بلکه به سرعت از آن می‌گذرد و به پیش می‌رود. معرفت بشری تنها وابسته به روش‌های صوری منطقی نیست.² تبیین منطقی این مشکل با قضیه مشهور گودل روشن شد. گودل ثابت کرد در چنین نظامی اولاً اثبات سازگاری منطقی ممکن نیست؛ ثانیاً همواره ممکن است قضیه‌ای از این نظام یافت شود که با این اصول موضوع اثبات‌ناپذیر باشد. میشل پولانی تعبیر جالبی از این روش دارد:

به شاخه‌ای از ریاضیات توجه می‌کنیم که بر پایه دستگاهی از اصول موضوع استوار شده است که به خودی خود بدیهی به نظر نمی‌رسند و در واقع نمی‌توان بر سازگاری آنها با یکدیگر وقوف یافت. به کار بردن حد اعلای هوش و حداکثر دقت برای اثبات قضایای منطق یا ریاضیات، در حالی که مقدمات این استنتاج‌ها به خوشی پذیرفته شده‌‌اند، بی‌آنکه اساسی برای این پذیرفتن باشد؛ روی هم رفته ممکن است مضحک و عبث جلوه کند. آدمی را به یاد دلقکی می‌اندازد که با وقار و تأنی دو ستون را در وسط صحنه کار می‌گذارد، دری را بین آنها نصب می‌کند، دسته کلید بزرگی را از جیب بیرون می‌آورد، و کلید آن در را با زحمت زیاد پیدا و آن را باز می‌کند، سپس از در داخل می‌شود و آن را با دقت دوباره می‌بندد؛ در حالی که میدان دو طرف پایه‌ها باز است و او می‌تواند دور بزند و به آن طرف برود،بی‌آنکه به مانعی بربخورد.³

 

1ن.ک: ارنست ناگل و دیگران، برهان گودل و حقیقت و برهان، ص95، محمد اردشیر، 1364، چاپ اول. یادآور می‌شوم که برای اعداد طبیعی دستگاه‌های اصل موضوعی دیگری نیز طراحی شده است. برای مطالعه دستگاه اصل موضوعی اعداد حقیقی ن.ک: اچ. ال. رویدن، آنالیز حقیقی، ص34، نوروز ایزد دوستدار، دانشگاه تهران،1366، بی‌چا. هم چنین برای مطالعه دستگاه اصل موضوعی هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی ن.ک: ماروین جی گرینبرگ، هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی، م.هـ.شفیعیها، ص78 - 56، مرکز نشر دانشگاهی، 1370، چاپ سوم.

2من نظریه مدون اثباتی ندارم که روش‌ دیگری به جز قیاس در تحصیل نظریات مفید باشد؛ اما یک چیز را آشکار می‌بینم و آن این که معرفت‌های بسیاری برای ما به گونه‌های دیگر حاصل می‌شود.

3علی اکبر عالم زاده، زبان حال ریاضیدان، ص36،مؤسسه نشر علوم نوین، 1374، چاپ اول.