معناداری مفاهیم و گزاره‌های ریاضی

آیا وقتی ریاضیدان می‌گوید: 2=1+1 تنها با تعدادی علامت بازی می‌کند یا اینکه معنای خاصی از آن در نظر دارد و در صدد ابراز آن معنا است؟ تعدادی از ریاضیدانان و در رأس آنان هیلبرتHilbert برآنند که فرمول‌های ریاضی تنها نماد‌هاییsymbols ‌ اند که با قواعدی صوریformal rules کنار هم چیده می‌شوند. برای نمونه گودمانGodement می‌نویسد:

سرانجام این عقیده حاصل شد که آنچه در ریاضیات مهم است فقط نمادهایی هستند که با رعایت «قوانین» صریحی برای تشکیل اشیاء ریاضی و روابط به کار می‌روند.¹

این عقیده با نام صورتگرایی formalism شناخته می‌شود. مور این عقیده را به عنوان یکی از دیدگاه‌های ناواقع‌گرایانهantirealistic در فلسفه ریاضی philosophy of mathematics معرفی می‌کند² و بارکر Barker نیز آن را یک دیدگاه غیر جزمی در باب نظریه اعداد می‌شمارد و بر طبق این نگرش، ریاضی را هم چون شطرنج یک بازی فکری به حساب می‌آورد که البته از شطرنج پیچیده‌تر است و چون قواعد ریاضی ، بر خلاف شطرنج، با فعالیت‌های عملی هماهنگ شده است، می‌تواند کاربردهای عملی داشته باشد.³ دیویی Dewey، فیلسوف پراگماتیست نیز از این نظر دفاع می‌کند⁴. اگر چه این نظر در میان ریاضیدانان با استقبال روبرو شده است ـ حد اقل در دانشکده‌های ریاضی ایران بسیار مورد توجه قرار گرفته است ـ اما با مشکلاتی اساسی روبرو است.

اگر ریاضی صرفاً بازی قاعده‌مندی با تعدادی از نمادهای بی‌معنا است، در این صورت این یک معجزه است که این همه در فیزیک برای حل مسایل طبیعی نه تنها قابل به کارگیری است؛ بلکه اساساً اغماض‌پذیر نیست. چنین کارآمدی گسترده و عمیقی نمی‌تواند اتفاقی باشد و با قول به بی‌معنایی مفاهیم ریاضی قابل توجیه نیست.

هم چنین در عمل، خود ریاضیدانان به معنا‌داری گزاره‌های خود توجه دارند:

لازم است تأکید نمایم که این دستگاه‌های جبری و اصول موضوع معرف آنها دارای حالت طبیعی مشخصی باشند. آنها باید حاصل توجه به مثالهای بیشماری باشند؛ یعنی از آنها نتایج بامعنی بسیاری بارور گردند. نمی‌شود همین طوری چند اصل موضوع ساخت و سپس به بررسی نتایج حاصل از آنها پرداخت. البته، عده‌ای این کار را کرده‌اند؛ اما اکثر ریاضیدانان این گونه اعمال ریاضیاتی را کم‌مایه شمرده، آن را رد می‌کنند.⁵

اگر اصول موضوعه دستگاه‌های ریاضی بی‌معنا‌یند؛ چرا در باره آنها چون و چرا می‌شود و نظرهای مخالف و موافق عرضه می‌گردد؟ گرینبرگ نیز بی‌معنا خواندن گزاره‌های ریاضی نقد می‌کند و بر آن است که ریاضیدانان اصول موضوعه را به دلخواه نمی‌سازند.⁶ کورانت Courantو رابینزRobbins نیز می‌نویسند:

در این تصدیق که ریاضیات چیزی نیست جز دستگاهی از نتایج ناشی از تعاریف و از اصولی که باید باهم سازگار باشند، خطری بزرگ برای نقش علم نهفته است. اگر این توصیف درست بود، ریاضیات نمی‌توانست توجه هیچ هوشمندی را به خود جلب کند. بازی‌ای بود با تعاریف، قواعد و قیاس‌های منطقی، بی‌انگیزه‌ای یا هدفی⁷.

به نظر می‌رسد بی‌معنا دانستن مفاهیم ریاضی نتیجه سیطره نام هیلبرت بر ریاضیدانان و تجربه‌گرایی از نوع پوزیتیویسم منطقی و نیز ناتوانی از حل مشکل اثبات سازگاری دستگاه‌های اصل موضوعی ریاضی است. مکتب فلسفی پوزیتیویسم منطقی اگر چه از جهت مبانی، مکتبی بسیار کم‌مایه بود و اکنون دیگر از این جهت مکتبی شکست خورده محسوب می‌شود؛ اما در کتابهای علمی هنوز آثار نامطلوب آن وجود دارد. بعید نیست که دیدگاه صورت گرایانه در حقیقت راهی برای کنار گذاشتن مسئله دشوار فلسفی حقیقت و معرفت ریاضی باشد.

1روژه گودمان، جبر، محمد رضا سلطانپور و وهاب داورپناه، ص20، مؤسسه انتشارات علمی دانشگاه شریف،بی‌تا،بی‌چا.

2A.W.Moor; Antirealism in the philosophy of mathematics; Rutledge encyclopedia of philosophy.

3Stephen F. Barker, Number, encyclopedia of philosophy.

4جان دیویی، منطق تئوری تحقیق، ص518، علی شریعتمداری، دانشگاه تهران، 1369، بی‌چا.

5ی. ن هراشتاین، مباحثی در جبر، ص39، علی اکبر عالم‌زاده، بی‌نا، 1363، چاپ دوم.

6ماروین جی گرینبرگ، هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی، م.هـ.شفیعیها، ص254، مرکز نشر دانشگاهی، 1370، چاپ سوم.

7همان، ص255.